Matemática discreta Ejemplos

$27 x^{4} + 21 x^{2} + 4 = 0$

Paso 1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$27 u^{2} + 21 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 27 \cdot 4 = 108$ y cuya suma es $b = 21$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $21$ de $21 u$ .

$27 u^{2} + 21 (u) + 4 = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $21$ como $9$ más $12$

$27 u^{2} + (9 + 12) u + 4 = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$27 u^{2} + 9 u + 12 u + 4 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(27 u^{2} + 9 u) + 12 u + 4 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$9 u (3 u + 1) + 4 (3 u + 1) = 0$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (9 u + 4) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 u + 1 = 0$

$9 u + 4 = 0$

Paso 4

Establece $3 u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.1

Establece $3 u + 1$ igual a $0$ .

$3 u + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $3 u + 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 u = - 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $3 u = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $3 u = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{3}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1}{3}$

Paso 5

Establece $9 u + 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.1

Establece $9 u + 4$ igual a $0$ .

$9 u + 4 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $9 u + 4 = 0$ en $u$ .

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Paso 5.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$9 u = - 4$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $9 u = - 4$ por $9$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $9 u = - 4$ por $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 4}{9}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 4}{9}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 4}{9}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{4}{9}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 u + 1) (9 u + 4) = 0$ verdadera.

$u = - \frac{1}{3}, - \frac{4}{9}$

Paso 7

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

${(x^{2})}^{1} = - \frac{4}{9}$

Paso 8

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Paso 9.2

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Paso 9.2.1

Reescribe $- \frac{1}{3}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

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Paso 9.2.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Paso 9.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Paso 9.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Paso 9.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 9.2.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 9.2.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 9.2.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 9.2.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.2.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 9.2.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 9.2.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 9.2.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 9.2.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 9.2.7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 9.2.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.2.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.2.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.2.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.2.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 9.2.7.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 9.2.8

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 9.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Paso 10

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - \frac{4}{9}$

Paso 11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = - \frac{4}{9}$

Paso 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$

Paso 11.3

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$ .

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Paso 11.3.1

Reescribe $- \frac{4}{9}$ como ${(\frac{2 i}{3})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{2 i}{3})}^{2}}$

Paso 11.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{2 i}{3}$

Paso 11.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{2 i}{3}$

Paso 11.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{2 i}{3}$

Paso 11.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$

Paso 12

La solución a $27 x^{4} + 21 x^{2} + 4 = 0$ es $x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$ .

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$